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漫話數學之像數學家一樣思考 你想收藏嗎

  同學們你們想像數學家一樣思考嗎?想像數學家一樣睿智嗎?能夠快速沉著地解題具有超強的邏輯思維這就是數學家給我們的感覺,很多同學都非常崇拜數學家希望自己有朝一日可以成為這樣的人。那么小編現在就收集了一切小技巧讓你們可以一步步像數學家一樣思考問題這些方法非常贊的——

數學家

  質疑一切

  在我看來,數學的真正美妙的地方之一在于它可以被檢驗;你不必把任何人的話當做圣經。如果有人給你說一些事情是真的,那你可以讓他證明;最好是,如果你真的想同數學家一樣思考,那你可以嘗試主動證明它。不要等著有人拿勺子喂你;

  對于一些人的話,你的反應應該是懷疑,并且試圖去找到一個反例;即便是真的,這種對你的鍛煉也是有益的,同時也能幫助我們對事情的判斷力;(注意,在真實生活場景中過度這么做可能會失去朋友—— 一直挑別人的刺,誰都會不爽)

  某報紙的一份來信說時間旅行從邏輯上是不可能的,因為如果時間旅行是可能的,那我們是會看到很多來自未來的人。我有一些想法來反駁這個邏輯:或許時間旅行只允許我們穿越到過去某點時間(比人類歷史還要長);或許時間旅行者不允許和我們交流;或許時間旅行有一個范圍,能穿越的時間不超過一年,而時間旅行在數年后才出現(并且時間旅行的機器不能穿越)。

  02

  寫下來

  寫下來?你可能會問,這跟和數學家一樣思考有個啥關系。是這樣的,語言是由一些論據構建的。高水平數學家的論據都是證明的形式(不僅僅是給出正確的數字答案)

  學生通常看不到寫下來的需要;他們常常說:’我來大學不是來寫作文的’,’我已經知道正確答案了’,’你懂的’。他們的作業都是一些沒有關系的符號堆砌但依然可以獲取高分。但是,如果你想去理解數學并且思路清晰,通過寫的練習可以迫使你對自己的觀點想的更清楚。如果你不能正確的描述,那么很可能你并不是真正理解了你要表達什么。這是一個可以學習和發展自己技術的很好機會。其實寫的一手好文章在任何領域都是很有用的技術。

  03

  試試逆?

  語句A=>B是數學的核心,我們可以表述為如果A是真的,那么B就是真的;A=>B的逆就是B=>A,例如:”如果我是丘吉爾,那我是英國人”的逆是”如果我是英國人,那么我是丘吉爾”;這個簡單的例子說明了,即便是一個語句是真的,那么其逆可能非真;可能真也可能非真,說之前要搞清楚;一個好的數學家,當提出一個A隱含B的語句時,通常會思考”其逆為真么?”,把這個問題印到腦子里,作為你和數學打交道的工具;然后,其逆是否為真并不是很重要,關鍵是磨練數學的能力;說個題外話,通常人們會犯一個大錯誤,就是當A=>B時,認為如果A非真的,那么B也非真的;這是不對的,這個語句只是在說當A為真是會發生什么,并沒有說A非真時的情況。現在可以像一個數學家一樣思考一下,給一個例子。

  04

  試著互逆

  一條語句’A => B’ 的互逆是 ‘not B => not A’;

  例如:

  1. 『如果我是丘吉爾,那么我就是英國人』的互逆就是『如果我不是英國人,那么我就不是丘吉爾』

  2.『如果我不是美國人,那么我就不是德克薩斯人』的互逆就是『如果我是德克薩斯人,那么我就是美國人』

  3.『x^2 – 4x – 5 = 0 => x >= -2』的互逆就是『x<-2 => x^2-4x-5 != 0』

  A=>B的互逆命題和自身的真假驚奇的一致!也就是說,如果A=>B是真的,那么not A => not B就是真的,反之亦然。可以驗證一下上面的例子。一開始可能很難在腦子里形成固有概念 – 其實大多數人都不相信;有一個著名的關于互逆的教育實驗,叫做Wason的選擇任務。可以看一看你是否能通過測試,只有不到10%的人通過了;

  由于互逆經常用做證明,并且日常推理也經常搞錯,所以你應該掌握。

  05

  考慮極端情況

  面對一個命題,要在少量極端的假設情況下看看;如果需要的參數為0或者1會怎樣?如果把需要的函數定義為f(x)=0會怎樣?數據集為空呢?如果需要的序列為1,1,1,1。。。呢?直線或者圓會有什么結果?

  這些例子可以幫我們更深刻的理解,意味著命題可以應用的場景;考慮一個極端的例子『如果Y=X^2,Z=Y^2,所以Z != X^2』。貌似Y和Y^2一般場景下是真的,但其實不然,比如Y=1,當X=1的條件下;

  用一個極端的例子說明下列原理是錯誤的:

  原理:假設a,b,c,d是正整數,如果ab=cd,a=c,那么b=d;

  想給出好的極端例子需要積累,因此需要平時注意收集,用到的時候信手捏來,有一個訓練方法,想象你正在酣睡,突然大半夜有人把你搖醒說:快!給我一個X的好例子,快!X可以是群組、向量、函數等數學對象。

  06

  構造自己的例子

  真正的數學家創造自己的例子,不管是標準例子,極端例子還是非實例!讓我們看看工作示例(例如過程、算法等)。

  考慮到極大值和極小值在微積分中的標準。我們首先定義如何區別一個函數。然后將奇點定義為導數為零的點。其次,我們告訴我們奇點有3種類型:極大值、極小值和拐點。然后顯示函數的二階導數決定類型。在這些例子之后:這里有一個函數,這里是奇點的位置,這是奇點的類型。

  學會方法后可以使用函數找到奇點類型,但如果我反過來問你,能否創建一個變量為x的函數f,函數的最大值和最小值分別為x=2和x=-6,這將是一個更加困難的考驗。但在嘗試這樣做時,你可以學到很多數學知識。

  因此,拿到計算方法后,您應該將其反轉以創建新的問題。此外,如果你和你的朋友一起制造這些問題,那么你可以交換他們(交換的是問題,而不是朋友),并從中得到更多的實踐。你也可以設置一個競賽:看看誰能設置最難但還在解決范圍內的問題。

  07

  假設用在哪里

  學生們常對我說他們很難理解證明,這是正常的。因為證明的重點在于邏輯性和推導性,而不是提供洞察定理的陳述或它的證明是如何被發現的。普通學生在解題時面臨的問題往往是“不知從何處入手”。因此,理解證明是學習成為數學家最困難的部分之一。

  《像數學家一樣思考》第18章的全部內容都是用各種方法來理解證明的,例如,把它分解成部分,把證據應用于一個例子。我們只考慮下面的技巧。

  每個定理都有假設。例如,畢達哥拉斯定理假設我們有一個直角三角形。這些假設是證明的必要條件或背景。因此,可以從假設入手,積極尋找公式定理的應用方向,你將開始了解數學證明。

  有些假設可能是隱藏的。例如,證明中往往會有“根據定理5.7,我們可以看到……”的字樣,這說明定理5.7是我們需要的假設之一。(順便說一下,如果一個定理在不同的證據中一次又一次地被使用,它一定是非常重要的,并且有潛力被用在你的證明中,所以要學好它。)

  通過尋找假設,你將開始數學證明之旅,并將清晰地看到它是推導的過程以及構造,作為無償的獎勵,你也會加深對證明的理解。

  08

  從復雜的一面開始

  從復雜的一面開始,這是我能夠給出的,證明等式成立的最高秘訣。從更復雜的部分入手,通過替換來降低表達式另一端的難度。

  09

  問“如果有……那么會怎樣”

  好的數學家喜歡問:“假如我放棄這個假設會發生什么?通過思考這個問題,我們可以更好地理解為什么一個結果是正確的,或者為什么定義是這樣的。有時我們可以通過弱化假設來創造一個新的定理!

  10

  交流!

  綜述:

  這些方法簡單嗎?很簡單其實不難甚至有一些老師上課時也沒少交給我們為什么有的人他成功了有的人卻沒有呢?其實這些方法都是學習數學的基本方法大家可以收藏起來。

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